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数学■就高考中《函数与方程的思想》的深度剖析，明白啦，解题犹如神助( 二 )


巴甫洛夫 · 伊万·彼德罗维奇有一句名言:“科学是以依赖于方法的进步程度为前提的 ， ”这句话并不假.方法每前进一步 ， 和每上一个台阶一样 ， 它会为我们展开更为广的视野 ， 因而看到前所未有的现象 。 从某种意义上讲 ， 学习数学就是掌握数学思想方法 ， 一旦学会运用思想方法解题 ， 会使你的数学学习收到事半功倍之效 ， 开发灵性 ， 深入数学的精髓 。
就深入研究函数和方程思想的考查 ， 其实主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题 ， 在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：
（1）是不是想到把字母看作变量或把代数式看作函数；
例：
【分析】这是一个以递推公式为背景的数列不等式 ， 但是如果把递推公式看做一个函数 ， 就可以获得一个很简单的做法 。
（2）是不是想到运用函数和方程的性质；
（3）是不是想到构造函数；
（4）是不是想到了把等式看做为一个未知的方程 ， 是不是想到了对这个方程的根（虚实 ， 正负 ， 有无 ， 以及范围）有什么要求；
以上是解题过程中就函数方程思想中需要经常考虑到的一些问题所在 ， 这里只做引出 ， 后续就每个点 ， 我们再做详细的深入 ， 敬请期待 。
备注：
    （1）   （C·F·K1ein ， 1849.4.25-1925. 6.22）德国 ， 生于莱茵河畔的杜塞尔多夫 。 1865年入波恩大学 。 1870年与S·李（M 。 S 。 Lie） ， 相伴去巴黎 ， 共同研究变换群等问题 。 1872年 ， 成为爱尔兰根大学教授 。 1875-1886年间先后任慕尼黑工业大学和莱比锡大学教授 。 1886-l913年任哥丁根大学教授 。 1885年被选为英国皇家学会会员 。 1897年被选为法国科学院院士 。 1913年被选为普鲁士科学院通讯院士 。 1925年卒于哥丁根 。F·克莱因在非欧几何、连续群论、代数方程论、自守函数论等方面 ， 都取得了杰出的成就 。 1872年 ， 他在爱尔兰根大学发表题为《关于近代几何学研究的比较评述》的著名演讲 ， 用变换群做出了几何学的分类 。 又把群的概念应用于自守函数、椭圆模函数、线性微分方程、阿贝尔函数等方面 。 他首先提倡改革中等教育的数学内容和方法 ， 影响了近代的数学教育 。 在数学史方面 ， 著有《l9世纪数学的发展》 。 对工程力学也有贡献 。 长期担任《数学年鉴》的编辑 。 1895年倡议编纂《数学百科全书》 ， 并为之付出了大量劳动 。 F·克莱因的主要著作有《非欧几何学》、《高等几何学》、《椭圆函数论》、《二阶线性微分方程》、《初等几何若干问题》、《从高等数学的角度研究初等数学》等 。
F·克莱因的成就是多方面的 ， 但他的主要贡献还是在几何方面 。 他给出了罗巴切夫斯基非欧几何一个简单的直观模型 ， 把该几何的相容性问题归结为欧几里得几何的相容性问题 ， 使得原来似乎复杂和难于接受的非欧几何的思想变得易于理解 ， 促使数学界承认了非欧几何在数学中的合法地位 。 他仔细区分出两类椭圆几何 ， 并给出单重椭圆几何一个简单直观的曲面模型 。 他接受凯莱（A·Cayley）关于一般射影关系决定度量的思想 ， 并将它推广以至包括各种非欧几何 。 他把凯莱绝对形的性质具体化 ， 并应用类似于凯莱的距离和角度表达式 ， 把罗巴切夫斯基度量几何、黎曼非欧几何（正的常曲率）、通常的欧几里得度量几何等统统纳入射影几何 ， 从而成功地完成了各种度量几何的统一工作 ， 他的著名演讲《关于近代几何学研究的比较评述》所提出的几何学群论观点利用变换群作工具 ， 以极为简洁的方式给出了各种几何学的统一定义 ， 明确了各种几何学的研究对象 ， 作出了几何学的分类 。 这不但使当时已经五彩纷呈、犬牙交错的众多几何学化为统一的形式 ， 而且也指明了建立抽象空间各种新的几何学的一种方法 。


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